평균변화율
평균 변화율 · 순간변화율 · 할선 · 평균 속력
두 점 사이에서 의 변화량을 의 변화량으로 나눈 값. 두 점을 잇는 직선의 기울기다.
고2 에서 배웁니다.
에서 가 에서 까지 변하면 평균변화율은 다.
왜 그런가
구간 하나를 수 하나로 줄인 것이다. 집에서 학교까지 km 를 분에 갔다면 1분에 km 씩 간 셈이다. 그 사이 신호에 멈췄는지 뛰었는지는 이 수에 남지 않는다. 처음과 끝의 두 값만 보고 가운데는 지운다.
그래프에서는 두 점 , 를 잇는 직선, 곧 할선의 기울기다. 일차함수는 어느 두 점을 골라도 이 값이 같고, 그 값이 바로 일차함수의 기울기다. 곡선은 고르는 구간마다 값이 다르다. 에서 부터 까지는 였지만 부터 까지는 이다.
구간을 한없이 줄이면 한 점에서의 변화율, 곧 순간변화율이 되고 할선은 접선이 된다. 에서 부터 까지의 평균변화율은 라서, 를 에 가깝게 할수록 에 다가간다. 이 가 에서의 미분계수다.
장면으로 보기 · 재는 시간을 줄이면 평균이 순간이 된다
재는 시간 Δt = 0.050 초 간 거리 Δs = 0.0684 m 평균 속력 Δs ÷ Δt = 1.368 m/s
평균 속력은 두 시각의 위치 차를 걸린 시간으로 나눠 잰다. 비교: 속도 식 v = 3t − 0.75t² 로 구한 0.50 초의 순간 속도 =1.313 m/s
두 시각 사이에 간 거리를 걸린 시간으로 나누면 평균 속력이다. 재는 시간을 줄여 갈수록 그래프에서 두 점을 잇던 선(할선)이 그 점에서 곡선에 닿는 선(접선)으로 돌아가고, 평균 속력은 한 값으로 모인다. 그 값이 그 순간의 속도이고, 위치를 시간으로 미분한 값이다. 차가 앞으로만 가는 이 장면에서는 속도와 속력이 같다.
평균변화율과 순간변화율
흔한 오해
평균변화율이 이라고 그 사이에 변하지 않은 것이 아니다. 에서 부터 까지의 평균변화율은 이지만, 그래프는 그 사이에 까지 내려갔다가 다시 올라왔다. 한 바퀴 돌아 출발점에 서면 위치의 변화가 인 것과 같다.
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