고3 도형과 측정

이차곡선

원뿔곡선 · 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 초점

$x$ , $y$ 에 대한 이차방정식으로 나타나는 곡선. 포물선 · 타원 · 쌍곡선이 있다.

초등중등고등

고3 에서 배웁니다.

두 점 $(- 3, 0)$ , $(3, 0)$ 까지의 거리의 합이 $10$ 인 점들은 타원 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 을 이룬다.

왜 그런가

세 곡선은 모두 거리로 정의된다. 한 점(초점)과 한 직선까지의 거리가 같으면 포물선, 두 초점까지의 거리의 합이 일정하면 타원, 거리의 차가 일정하면 쌍곡선이다. 못 두 개에 실을 걸고 연필로 당기며 돌리면 타원이 그려진다.

원뿔을 평면으로 자르면 세 곡선이 모두 나온다. 자르는 평면의 기울기에 따라 단면이 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 바뀐다. 그래서 원뿔곡선이라고도 부른다.

초점에는 성질이 있다. 포물선 거울에 축과 나란히 들어온 빛은 모두 초점으로 모인다. 위성 안테나와 손전등 반사경이 이 모양이다. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 돈다.

장면으로 보기 · 빛이 한 점으로 모인다

빛이 한 점으로 모인다

반사된 빛이 x 축을 지나는 곳 = 1.500 초점 p = 1.500 PF = 4.035 · P 에서 준선까지 = 4.035

초점 거리 p 1.5

포물선은 초점과 준선까지의 거리가 같은 점들의 자취입니다. 그래서 축에 평행하게 들어온 빛은 어디에 닿든 초점으로 꺾이고, 들어온 길과 꺾인 길을 합한 길이도 모두 같아 한꺼번에 닿습니다.

타원 쌍곡선

두 초점까지의 거리 합이 일정 차가 일정

표준형

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

모양 닫힌 곡선 하나 두 갈래로 열린 곡선, 점근선이 있다

고대 그리스의 아폴로니우스가 『원뿔곡선론』에서 세 곡선을 깊이 다루며 오늘날의 이름을 붙였다. 행성의 궤도가 타원이라는 것은 17세기 초 케플러가 밝혔다.

타원과 쌍곡선의 표준형에서 초점 위치를 구하는 식이 다르다. 타원은 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , 쌍곡선은 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 이다. 타원은 초점이 곡선 안쪽, 쌍곡선은 꼭짓점보다 바깥쪽에 있다고 기억하면 덜 헷갈린다.

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