중3 ~ 고1 변화와 관계

이차함수

포물선 · 축

$y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) 꼴의 함수. 그래프가 포물선이다.

초등중등고등

중3 에 처음 만나 고1 까지 이어집니다.

$y = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1$ 의 그래프는 꼭짓점이 $(2, - 1)$ 인 아래로 볼록한 포물선이고, $x = 1$ , $x = 3$ 에서 $x$ 축과 만난다.

왜 그런가

모든 이차함수의 그래프는 $y = a x^{2}$ 을 옮겨 놓은 것이다. 완전제곱식으로 고치면 얼마나 옮겼는지가 바로 보인다.

y = a (x - p)^{2} + q

이 꼴에서 꼭짓점은 $(p, q)$ 이고, 그래프는 직선 $x = p$ 를 축으로 좌우 대칭이다. $a > 0$ 이면 아래로 볼록해서 꼭짓점이 가장 낮은 점, $a < 0$ 이면 위로 볼록해서 가장 높은 점이다. 그래서 이차함수는 최댓값과 최솟값을 묻는 문제의 기본 도구다.

그래프가 $x$ 축과 만나는 점의 $x$ 좌표가 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 근이다. 두 번, 한 번, 안 만나는 세 경우를 판별식이 가른다.

장면으로 보기 · 빛이 한 점으로 모인다

빛이 한 점으로 모인다

반사된 빛이 x 축을 지나는 곳 = 1.500 초점 p = 1.500 PF = 4.035 · P 에서 준선까지 = 4.035

초점 거리 p 1.5

포물선은 초점과 준선까지의 거리가 같은 점들의 자취입니다. 그래서 축에 평행하게 들어온 빛은 어디에 닿든 초점으로 꺾이고, 들어온 길과 꺾인 길을 합한 길이도 모두 같아 한꺼번에 닿습니다.

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a 가 양수와 a 가 음수

a 가 양수 a 가 음수

모양 아래로 볼록(골짜기) 위로 볼록(언덕)

꼭짓점 가장 낮은 점(최솟값) 가장 높은 점(최댓값)

∣ a ∣

가 커지면 폭이 좁아진다 폭이 좁아진다

이름의 유래

포물선(拋物線)은 「던진 물체가 그리는 선」이라는 뜻이다. 공기 저항을 무시하면 비스듬히 던진 공의 길이 정확히 이차함수의 그래프가 된다.

흔한 오해

$y = (x - 2)^{2} + 1$ 의 꼭짓점은 $(2, 1)$ 이다. 괄호 안이 빼기라서 $(- 2, 1)$ 로 읽기 쉽다. $x = 2$ 일 때 괄호가 $0$ 이 되는 자리라고 생각하면 부호를 틀리지 않는다.

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왜 그런가

a 가 양수와 a 가 음수

名이름의 유래

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