회전체
회전축
평면도형을 한 직선을 축으로 삼아 한 바퀴 돌려 생기는 입체도형.
중1 에 처음 만나 고3 까지 이어집니다.
직사각형을 한 변을 축으로 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 직각을 낀 한 변을 축으로 돌리면 원뿔, 반원을 지름을 축으로 돌리면 구가 된다.
왜 그런가
물레 위의 도자기를 떠올리면 된다. 손이 만든 옆모습 하나가 돌면서 그릇 전체가 된다. 그래서 회전체는 옆모습, 곧 회전축을 품은 평면으로 자른 단면 하나로 모양이 다 정해진다. 그 단면은 회전축을 사이에 두고 좌우가 똑같은 선대칭 도형이다.
축에 붙은 도형을 돌렸다면, 회전축에 수직으로 자른 단면은 회전축 위에 중심을 둔 원이다. 도형의 모든 점이 축 둘레로 원을 그리며 돌았기 때문이다. 원기둥은 어디를 잘라도 같은 원, 원뿔은 뾰족한 끝으로 갈수록 작아지는 원, 구는 한가운데에서 가장 큰 원이 나온다.
「단면이 원」이라는 사실이 부피를 구하는 열쇠다. 얇은 원판을 겹겹이 쌓으면 회전체가 되므로, 원판의 넓이를 쌓아 더하면 부피다. 적분을 쓰면 곡선 를 축 둘레로 돌린 입체의 부피를 이렇게 쓴다. 단면의 반지름이 이기 때문이다.
반원 을 에서 까지 돌리면 구가 되고, 이 식에 넣으면 구의 부피 이 그대로 나온다.
회전체와 다면체
흔한 오해
축에서 떨어진 도형을 돌리면 가운데가 뚫린 입체가 된다. 원을 그 바깥의 직선 둘레로 돌리면 도넛 모양이 나오고, 이때 축에 수직인 단면은 원이 아니라 가운데가 빈 고리다. 속이 꽉 찬 입체가 되려면 도형이 축에 붙어 있어야 한다.
이웃한 낱말
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