겉넓이

왜 그런가

상자를 빈틈없이 싸는 데 드는 포장지의 넓이라고 생각하면 된다. 입체를 모서리를 따라 잘라 평면에 펼친 그림이 전개도다. 접힌 것을 폈을 뿐 늘이거나 줄이지 않았으니 전개도의 넓이가 곧 겉넓이다. 그래서 입체의 겉넓이는 평면도형 몇 개의 넓이를 더하는 일이 된다.

펼친 모양은 입체마다 정해져 있다. 각기둥이나 원기둥의 옆면은 밑면 둘레를 한 바퀴 감은 띠라서 펼치면 직사각형 한 장이다. 원뿔의 옆면은 꼭짓점에서 퍼져 나가는 모양이라 펼치면 부채꼴이 된다.

구는 어떻게 잘라도 평평하게 펼 수 없다. 둥근 지구의 겉을 평면 지도에 옮기면 어딘가가 늘어나거나 찢어지는 까닭이다. 그래도 겉넓이는 정확히 구할 수 있어서, 중1 에서 배우는 식으로 반지름이 $r$ 인 구의 겉넓이는 $4\pi r^2$ 이다. 같은 반지름의 원 넓이의 꼭 네 배다.

같은 양을 잘게 쪼갤수록 겉넓이는 늘어난다. 한 변이 $3$ cm 인 정육면체의 겉넓이는 $54{\text{cm}}^2$ 인데, 한 변이 $1$ cm 인 정육면체 $27$ 개로 자르면 겉넓이의 합이 $162{\text{cm}}^2$ 로 세 배가 된다. 길이가 $\frac{1}{3}$ 인 조각은 겉넓이가 $\frac{1}{9}$ 이지만 개수가 $27$ 개이기 때문이다. 부피는 그대로다. 각설탕보다 가루 설탕이 물에 빨리 녹는 것도 물에 닿는 겉이 넓어서다.