중2 도형과 측정

닮음

닮음비

한 도형을 일정한 비율로 늘이거나 줄이면 다른 도형과 포개어지는 관계.

초등중등고등

중2 에서 배웁니다.

가로 $2$ , 세로 $3$ 인 직사각형과 가로 $4$ , 세로 $6$ 인 직사각형은 닮음이고 닮음비는 $1 : 2$ 다.

왜 그런가

닮은 두 도형은 대응하는 각의 크기가 같고 대응하는 변의 길이의 비가 일정하다. 사진을 확대하거나 축소한 관계다.

길이가 $k$ 배가 되면 넓이는 $k^{2}$ 배, 부피는 $k^{3}$ 배가 된다. 한 변이 두 배인 정사각형에는 원래 정사각형이 네 개 들어간다. 길이가 조금만 커져도 넓이와 부피는 훨씬 빨리 불어난다.

닮음은 잴 수 없는 길이를 재는 도구다. 같은 시각에 막대와 나무의 그림자를 재면 두 직각삼각형이 닮음이라 나무의 높이를 비례식으로 구할 수 있다. 삼각비가 삼각형의 크기와 상관없이 정해지는 것도 닮음 덕분이다.

장면으로 보기 · 두 배로 키우면 타일은 네 개

두 배로 키우면 타일은 네 개

길이 2 배 타일 4 개 (넓이비 1 : 4) 상자 8 개 (부피비 1 : 8)

센 개수를 곱셈과 비교하면 타일 = k² = 2 × 2 = 4, 상자 = k³ = 2 × 2 × 2 = 8. 층마다 4 개가 2 층이다.

배율 k 2

길이가 k 배면 넓이는 두 방향으로 k 배씩이라 k², 부피는 세 방향이라 k³ 이다. 피자를 두 배 지름으로 시키면 네 판 값어치다.

닮음 합동

크기 달라도 된다 같다

변의 길이 비가 일정하다 같다

닮음비 어떤 비든 된다 1 : 1 (합동은 닮음의 한 경우)

고대 그리스의 탈레스가 막대의 그림자와 피라미드의 그림자를 견주어 피라미드의 높이를 쟀다는 이야기가 전해진다. 닮음을 쓴 측정의 가장 오래된 예로 꼽힌다.

닮음비가 $1 : 2$ 일 때 넓이의 비는 $1 : 2$ 가 아니라 $1 : 4$ , 부피의 비는 $1 : 8$ 이다. 피자 지름이 두 배면 양은 네 배다.

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