중1 ~ 고2 도형과 측정

부채꼴

활꼴

원에서 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형.

초등중등고등

중1 에 처음 만나 고2 까지 이어집니다.

반지름이 $6$ , 중심각이 $6 0^{\circ}$ 인 부채꼴은 원의 $\frac{1}{6}$ 이다. 호의 길이는 둘레 $12 π$ 의 $\frac{1}{6}$ 인 $2 π$ , 넓이는 원의 넓이 $36 π$ 의 $\frac{1}{6}$ 인 $6 π$ 다.

왜 그런가

피자 한 조각이 부채꼴이다. 조각이 원 전체의 몇 분의 몇인지만 알면 호의 길이도 넓이도 원에서 그 몫만큼 떼어 오면 된다. 그 몫을 정하는 것이 중심각이다. 중심각이 $36 0^{\circ}$ 의 몇 분의 몇인지가 곧 조각의 몫이다.

그래서 한 원에서 호의 길이와 넓이는 중심각에 정비례한다. 중심각을 두 배로 벌리면 조각이 두 배가 되니 호도 넓이도 두 배다.

넓이는 중심각 없이 호의 길이만으로도 구한다. 부채꼴을 중심에서 아주 가늘게 쪼개면 조각 하나하나가 높이가 반지름인 가느다란 삼각형에 가깝다. 그 밑변을 다 모으면 호의 길이 $ℓ$ 이니, 넓이는 삼각형처럼 (밑변) × (높이) ÷ 2 꼴이 된다.

S = \frac{1}{2} r ℓ

고2 에서 각을 라디안으로 재면 몫을 따로 셀 필요도 없다. 반지름 $r$ 에 중심각 $θ$ 를 곱한 $r θ$ 가 바로 호의 길이다. 원뿔의 옆면을 펼쳐도 부채꼴이 나온다. 그 반지름은 원뿔의 모선이고, 호의 길이는 밑면의 둘레다.

장면으로 보기 · 반지름을 둘레에 감으면

반지름을 둘레에 감으면

감은 길이 = 6.28 r 중심각 = 6.28 rad = 6.28 × 57.3° = 360.0°

감기 6.28

반지름이 원 둘레에 몇 번 들어가는지가 각의 단위입니다. 1 rad 는 반지름 하나만큼의 호가 벌리는 중심각이고, 한 바퀴에는 반지름이 여섯 번 하고 조금 들어가니 한 바퀴는 2π rad = 360° 입니다.

부채꼴 활꼴

둘러싼 선 두 반지름과 호 현과 호

원의 중심 꼭짓점에 있다 반원보다 작으면 들어 있지 않다

넓이를 구하는 법 원의 넓이에서 중심각의 몫만큼 부채꼴에서 삼각형을 뺀다(반원보다 작을 때)

펼친 부채를 닮은 꼴이라 부채꼴이다. 영어 sector 는 라틴어로 「자르는 것」이라는 말에서 왔다.

부채꼴의 둘레를 호의 길이로만 적기 쉽다. 둘레에는 두 반지름도 든다. 반지름이 $3$ , 중심각이 $12 0^{\circ}$ 인 부채꼴의 호는 $2 π$ 이고 둘레는 $2 π + 6$ 이다.

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부채꼴과 이어진 말

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