외심과 내심

왜 그런가

두 점 A, B 에서 같은 거리에 있는 점들을 모으면 선분 AB 의 수직이등분선이 된다. 삼각형의 두 변의 수직이등분선이 만나는 점은 그래서 세 꼭짓점 모두에서 같은 거리에 있고, 셋째 변의 수직이등분선도 저절로 그 점을 지난다. 그 점이 외심이다. 외심에 컴퍼스를 꽂으면 세 꼭짓점을 모두 지나는 원, 곧 외접원이 그려진다.

내심은 같은 생각을 변에 쓴 것이다. 한 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점들은 그 각의 이등분선 위에 놓인다. 두 각의 이등분선이 만나는 점은 세 변 모두에서 같은 거리에 있으니 셋째 각의 이등분선도 그 점을 지난다. 그 거리를 반지름으로 원을 그리면 세 변에 안쪽에서 닿는 내접원이 된다.

세 마을에서 똑같이 가까운 자리에 우체국을 짓는다면 외심을 찾고, 세모난 땅에 들어갈 가장 큰 둥근 연못을 판다면 내심을 찾는다. 내심과 세 꼭짓점을 이어 삼각형을 세 조각으로 나누면 조각마다 높이가 내접원의 반지름이다. 그래서 삼각형의 넓이는 내접원의 반지름과 둘레를 곱한 값의 절반이다.